求二重积分例题
1、原式为 ∫(0，1)dx∫(0，x)√(4x^2-y^2)dy。我们采用换元法进行解题。首先设 y=2xsinα，则有 dy=2xcosαdα。将 y=2xsinα 代入原式，得到 ∫(0，x)√(4x^2-y^2)dy 的积分上限为 π/6。因此，原式可以转化为 (4x^2)∫(0，π/6)(cosα)^2dα。
2、具体回答如下：题目中所给曲线是星形线，其直角坐标方程为：x^（2/3）+y^（2/3）=a^（2/3）。转换成极坐标方程：x=rcosθ，y=rsinθ；代入得：二重积分的意义：在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。
3、二重积分是柱体体积负值。在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。
4、令x=ρ*cosθ，y=ρ*sinθ。则原积分域转化为：D：{(ρ，θ)|0≤ρ≤2，0≤θ≤2π}，被积函数化为4+ρ2，dxdy化为ρdρdθ。二重积分化为累次积分：2π 2。I=∫dθ ∫(4+ρ2)ρdρ=2π*(8+4)=24π。
5、又，积分区域D是由x^2+y^2=2x所围成。在直角坐标系下是第四象限，建立以原点为极点的极坐标系，则D={(ρ，θ)，0≤ρ≤2cosθ，-π/2≤θ≤π/2}。∴原式=∫(-π/2，π/2)dθ∫(0，2cosθ)(4-ρ^2)ρdρ=(8/3)∫(-π/2，π/2)[1-(sinθ)^3]dθ=8π/3。
6、这不是几句话说清楚的.二重积分有两种顺序难度差不多，都可以作出来的。也有的必须交换顺序的才行如例。
高数二重积分问题?
只要满足两点： 被积函数是 f(x)* g(y) 形式，f(x)、g(y)连续； 积分区域是矩形。
此二重积分是求以域D为底，以曲面 z=f(x，y)为顶的曲顶柱体的体积；不是求积分域D的面积！所以你后面的说法是很错误的。积分方法有二：①。先对y积分，再对x积分。
所以，在-1——1上的积分值 =2倍从0——1的积分值。
③∫√(4a-ρ)ρdρ= -0.5∫(4a-ρ)^(1/2)d(4a-ρ)。④结果=(32/3)a^3*[(∏/2)-(2/3)]。
例如，可以将原问题转化为计算f(|x|)的积分，这样无论x是正还是负，开方操作都只会针对非负数进行，确保结果的正确性。综上所述，在处理二重积分问题时，特别是涉及到需要对x进行平方再开方的情况，如果x的取值范围包括正负数，引入绝对值是一种有效的方法，能够确保计算过程的正确性和结果的合理性。
如何使用极坐标变换求解下列二重积分?
1、解：设x=ρcosθ，y=ρsinθ，由题设条件，有0≤θ≤π/2，0≤ρ≤1。∴原式=∫(0，π/2)dθ∫(0，1)[(1-ρ^2)/(1+ρ^2)]^(1/2)ρdρ。
2、极坐标下的二重积分计算法 极坐标系下，直线x＝1的方程是ρcosθ＝1，即ρ＝1/cosθ。射线y＝x的方程是θ＝π/4。确定θ的取值范围：积分区域夹在射线θ＝0与θ＝π/4之间，所以θ的取值范围是 0≤θ≤π/4。
3、解：（5）原式=∫0，2πdθ∫π，2πr*sinrdr (作极坐标变换)=2π(-3π) (应用分部积分法)=-6π^2；（6）原式=∫0，π/2dθ∫1，2θ*rdr (作极坐标变换)=∫0，π/2θdθ∫1，2rdr =((π^2/8)(2-1/2)=3π^2/16。
4、用极坐标求二重积分，需要进行以下步骤：考虑积分区域：首先，确定要积分的区域，并将其用极坐标表示。在极坐标下，点的位置由极径（r）和极角（θ）决定。确定极坐标转换：将笛卡尔坐标系下的积分表达式转换为极坐标形式。这需要将积分区域的边界曲线用极坐标参数化。
